在 1.5T 磁場下針對體內氫原子進行共振，若射頻線圈內含有電感為 4 × 10⁻⁸ 亨利（Henry），則線圈內要加入約多少法拉（Farad）的電容？

本題觀念：

本題考查 MRI 射頻（RF）線圈的 LC 共振調諧原理。MRI 系統中，RF 線圈必須調諧至氫核（¹H）在特定磁場強度下的拉莫爾頻率（Larmor frequency），才能有效激發和接收訊號。LC 並聯或串聯共振電路是實現此調諧的基本方法。

選項分析

(A) 6.34 × 10⁻⁶ F 此值（約 6.34 μF）遠大於正確答案，代入計算後共振頻率約為 3.2 kHz，與 MRI 射頻範圍（數十 MHz）相差三個數量級，不合理。

(B) 2.64 × 10⁻⁸ F 此值代入後共振頻率約 $f \approx \frac{1}{2\pi\sqrt{4\times10^{-8} \times 2.64\times10^{-8}}} \approx 4.9 \text{ MHz}$，不符合 63.86 MHz。

(C) 1.55 × 10⁻¹⁰ F ✓（正確答案） 代入 $C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$，當 $f = 63.864 \text{ MHz}$、$L = 4\times10^{-8} \text{ H}$ 時，計算結果正好為 $\approx 1.55\times10^{-10}$ F（約 155 pF），共振頻率符合。

(D) 1.22 × 10⁻¹² F 此值代入後共振頻率約 720 MHz，遠高於 1.5T 的氫核共振頻率。

答案解析

步驟一：計算 1.5T 下氫核的拉莫爾頻率

$f_L = \gamma \times B_0$

氫核的旋磁比 $\gamma = 42.576 \text{ MHz/T}$，磁場強度 $B_0 = 1.5 \text{ T}$：

$f_L = 42.576 \text{ MHz/T} \times 1.5 \text{ T} = 63.864 \text{ MHz}$

步驟二：由 LC 共振公式反求電容

LC 串聯/並聯電路的共振頻率公式：

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

整理解出 $C$：

$C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$

步驟三：代入數值計算

$C = \frac{1}{4\pi^2 \times (63.864 \times 10^6)^2 \times 4 \times 10^{-8}}$

$= \frac{1}{4 \times 9.8696 \times 4.0786 \times 10^{15} \times 4 \times 10^{-8}}$

$= \frac{1}{6.444 \times 10^{9}} \approx 1.55 \times 10^{-10} \text{ F}$

即約 155 pF，對應選項 (C)。

核心知識點

1. 拉莫爾頻率：每種原子核在外磁場中的進動頻率 $f_L = \gamma B_0$。氫核（¹H）的 $\gamma = 42.576$ MHz/T，是 MRI 最常用的核種。
2. 1.5T 系統共振頻率：$\approx 63.86$ MHz；3T 系統約 127.7 MHz。
3. RF 線圈調諧：線圈需加入電容以形成 LC 諧振電路，使其共振在拉莫爾頻率上，確保最大能量傳遞效率。
4. 公式推導：$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ → $C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$

參考資料

1. Larmor frequency in MRI | MRI Master
2. LC Resonant Frequency Calculator - All About Circuits
3. A Practical Guide to Estimating Coil Inductance for Magnetic Resonance Applications - MDPI Electronics
4. Introduction to MRI - Analog Devices