判斷圖中核種的平均壽命（ mean life ）約為多少天？

本題觀念：

本題考查從放射性核種衰變曲線圖判讀**平均壽命（mean life，τ）**的能力。平均壽命是放射性核種的重要物理量，與半衰期（half-life，$t_{1/2}$）及衰變常數（decay constant，$\lambda$）密切相關。

影像分析：

圖中為一條標準指數衰減曲線（exponential decay curve）：

• 縱軸（Y 軸）：原子數目（Number of atoms），初始值約 $100 \times 10^6$ 個
• 橫軸（X 軸）：衰變時間（Decay time），單位為天（days）
• 曲線從左上到右下呈指數下降
• 圖中可見兩個標記點，約位於 $t \approx 4.5$ 天（N ≈ $25 \times 10^6$）及 $t \approx 7.5$ 天（N ≈ $13 \times 10^6$）附近
• 由曲線形狀估算，當 N 降至初始值的一半（$50 \times 10^6$）時，對應時間約 $t_{1/2} \approx 2.7$ 天
• 平均壽命即為曲線上 N 降至 $N_0/e \approx 36.8 \times 10^6$ 時對應的時間，從圖形上讀取約為 3.9 天

選項分析

首先建立計算架構。放射性衰變遵循指數衰減定律：

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