今有一活度為 0.5 Ci的²²⁶Ra ，在達到放射性永久平衡（ secular equilibrium ）時會產生多少 Bq 的²²²Rn ？（已知²²²Rn 的半衰期為 3.8 天）

本題觀念：

本題考核放射性永久平衡(secular equilibrium)的概念及單位換算（Ci → Bq）。當母核的半衰期遠大於子核半衰期（通常超過 100 倍以上）時，在密閉系統中子核的活度最終將等於母核的活度，達到「永久平衡」。

答案解析

已知條件：

• $^{226}$Ra 的活度 = 0.5 Ci
• $^{226}$Ra 半衰期 ≈ 1,622 年
• $^{222}$Rn 半衰期 = 3.8 天
• 問：達到永久平衡後，$^{222}$Rn 的活度為多少 Bq？

Step 1：確認永久平衡條件

永久平衡成立的條件：母核半衰期 >> 子核半衰期（相差 100 倍以上）。

$\frac{T_{1/2}(\text{Ra-226})}{T_{1/2}(\text{Rn-222})} = \frac{1622 \text{ 年}}{3.8 \text{ 天}} \approx \frac{1622 \times 365 \text{ 天}}{3.8 \text{ 天}} \approx 155{,}900$

比值高達 155,900，遠超過 100 倍，永久平衡條件成立。

Step 2：永久平衡時的活度關係

在永久平衡下： $$A_{\text{daughter}} = A_{\text{parent}}$

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