某放射核種的半化期為 15 天，則其蛻變至原核種活度的 1/10 時需幾天？

本題觀念：

本題考放射性蛻變計算：已知半化期 $T_{1/2} = 15$ 天，求活度衰減至原來 1/10 所需天數。利用放射性衰變公式推導。

選項分析

(A) 48.2 天 — 錯誤。計算結果不符。

(B) 48.9 天 — 錯誤。計算結果不符。

(C) 49.8 天 ✅ — 正確答案（見計算過程）。

(D) 50.8 天 — 錯誤。計算結果不符。

答案解析

放射性衰變的基本公式：

$A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$

其中衰變常數：

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.6931}{15} = 0.04621 \text{ 天}^{-1}$

設活度衰減至 $\frac{1}{10}$ 時所需時間 $t$：

$\frac{A(t)}{A_0} = \frac{1}{10} = e^{-\lambda t}$

兩邊取自然對數：

$\ln\left(\frac{1}{10}\right) = -\lambda t$

$-\ln 10 = -\lambda t$

$t = \frac{\ln 10}{\lambda} = \frac{2.3026}{0.04621}$

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